FRACCIONES ALGEBRAICAS
Se le llama fracción algebraica
al cociente o división de dos polinomios, el denominador es siempre distinto de
cero.
RAICES Y FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
RAICES Y FACTORIZACION DE UN
POLINOMIO
Observamos que si a es una raíz del
polinomio P(x) cuando x=a el valor numérico del polinomio es cero, según el
teorema del resto al dividir el polinomio P(x) entre (x-a) el resto es cero.
1: dividimos el polinomio entre
(x-a) siendo a raíz del polinomio, podemos utilizar en estos casos la regla de
ruffini.
2: expresamos el polinomio
mediante el producto del cociente por termino (x-a)
3: si es necesario sacamos factor
común al cociente.
Descomponemos el siguiente
polinomio en producto de factores.
Como vemos, se ha descompuesto el
polinomio inicial en el producto de factores.
SACAR FACTOR COMUN DE UN POLINOMIO
ALGEBRA
SACAR FACTOR COMUN DE UN POLINOMIO
Al sacar factor común se consigue
expresar una suma o resta algebraica por medio de una multiplicación o
producto.
1: observamos la letra o letra
que se repiten en los términos de la suma o resta.
El término
que se repite es el factor común.
TEOREMA DEL RESTO
ALGEBRA
TEOREMA DEL RESTO
El teorema del resto afirma que
el valor numérico de un polinomio P(x) cuando x=a coincide con el resto de la división
P(x)÷(x-a)
Este teorema es muy útil para conocer
el valor numérico de un polinomio utilizando la regla de ruffini.
Calculamos el valor numérico del
polinomio siguiente mediante el teorema del resto.
Como vemos, si damos el valor 3
al polinomio P(x) su valor numérico coincide con el resto de la operación anterior, QUE ES 5
RAICES DE UN POLINOMIO
MATEMATICAS-ALGEBRA
RAICES DE UN POLINOMIO
Un numero es raíz de un polinomio
cuando el valor numérico del polinomio P(x) en el que x=a es cero es decir
P(a)=0
Las raíces de un polinomio con
coeficientes enteros están entre los divisores del término independiente.
1: un número a es raíz del
polinomio P(x) cuando al sustituir x por a el valor numérico del polinomio es
cero.
2: el numero de raíces de un
polinomio siempre es menor o igual que el grado del polinomio.
En el polinomio siguiente notamos
que las raíces las encontramos entre los divisores del termino independiente,
estos divisores los tomamos en signo negativo y positivo.
Pafnuty Chebyshev
Pafnuty Chebyshev
hebyshev nació en el pueblo de Okatovo en el distrito de Borovsk ,
provincia de Kaluga . Su padre, Lev Pavlovich, fue un noble ruso y rico
terrateniente. Pafnuty Lvovich fue educado primero en casa de su madre Agrafena
Ivanovna (en lectura y escritura) y por su primo Avdotia Kvintillianovna
Sukhareva (en francés y aritmética). Chebyshev mencionó que su profesor de
música también jugó un papel importante en su educación, para que "levantó
su mente a la exactitud y el análisis."
Una discapacidad física (de causa desconocida) afectados adolescencia
Chebyshev y el desarrollo. Desde la infancia, cojeaba y caminaba con un palo y
lo que sus padres abandonaron la idea de su llegar a ser oficial en la
tradición familiar. Su discapacidad le impidió jugar muchos juegos de los niños
y se dedicó en cambio a las matemáticas.
MATEMATICAS: PROBABILIDAD-COMBINACIONES
MATEMATICAS
PRBABILIDAD COMBINACIONES
Las combinaciones de n elementos
tomados de m en m cuentan el número de grupos diferentes que se pueden formar
con m elementos distintos, elegidos de un conjunto de n elementos.
1: no influye el orden.
2: ninguno puede estar repetido.
Para calcular las combinaciones
utilizamos la siguiente formula.
En el juego de la lotería, el
premio mayor es acertar 8 números de 53.
¿Cuántos boletos tendría que
comprar para asegurarme que ganare el premio mayor?
1: tenemos que calcular el número
de grupos diferentes de 8 números de entre 53 diferentes.
2: influye el orden y no se
pueden repetir.
Supongamos que cada boleto cuesta
1$, el dinero que tendríamos que gastar para ganar seguro el premio mayor seria
$886322710
MATEMATICAS : PROBABILIDAD-PERMUTACIONES
MATEMATICAS
PROBABILIDAD PERMUTACIONES
Las permutaciones son una variación
en las que, el número de elementos m para formar un grupo es igual al número
total de elementos n, es decir m=n
La permutación es igual a n!
MATEMATICAS: PROBABILIDAD-VARIACIONES
MATEMATICAS
PROBABILIDAD VARIACIONES
Las variaciones nos sirven para
contar los diferentes grupos de g elementos que se pueden formar con un
conjunto de e elementos,
Estos elementos no se pueden
repetir e influye el orden en el que están colocados.
Para calcular los grupos
realizamos la siguiente operación.
Variaciones con elementos que se
pueden repetir.
Para calcular los grupos que se
pueden formar con cierto número de elementos que se pueden repetir realizamos
la siguiente operación.
De cuantas formas pueden llegar a
la meta 8 corredores tomando las tres primeras posiciones en una carrera de 100
metros.
Primero tenemos que saber que
tipo de variación es.
1: queremos saber cuántos grupos
de 3 elementos se pueden formar con un total de 8 elementos.
2: en estos grupos influye el
orden y no se pueden repetir.
Se pueden formar 336 grupos
diferentes con 8 corredores tomando las tres primeras posiciones.
REGLA DE RUFFINI
REGLA DE RUFFINI
es muy útil para realizar la división de un polinomio entre un binomio.
DIVISION DE POLINOMIOS
DIVISION DE POLINOMIOS
Para poder dividir polinomios es necesario
que el grado del dividendo sea igual o mayor que el grado del divisor.
Para realizar la división se
siguen estos pasos.
1: el primer término del cociente
se obtiene dividiendo el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor
grado del divisor.
2: este resultado se multiplica
por cada uno de los términos del divisor y el resultado de le resta al
dividendo.
3: con el nuevo dividendo se
repite el proceso hasta que el resultado sea de menor grado que el divisor.
Cuando el resto es 0 esta es una división
exacta.
Paolo Ruffini
Paolo Ruffini
Paolo Ruffini (Valentano, 22 de
septiembre de 1765 – Módena, 10 de mayo de 1822) fue un matemático y médico
italiano.
Paolo Ruffini nació el 22 de
septiembre de 1765 en Valentano, Estados Papales, y murió el 10 de mayo de 1822
en Módena, actual Italia. Su padre, Basilio Ruffini, era médico en Valentano.
De niño parecía destinado a la carrera religiosa. Su familia se mudó a Reggio,
en el ducado de Módena, en el norte de la actual Italia y Paolo entró en la
universidad de Módena en 1783 para estudiar matemáticas, medicina, filosofía y
literatura.
Entre sus profesores estaba Luigi
Fantini, que le enseñó geometria y Paolo Cassiani que le enseñó cálculo. En
aquel entonces, la familia Este gobernaba Módena y en 1787, Cassiani fue
elegido concejal, teniendo que dejar la universidad. Así fue como el curso de
Cassiani sobre los fundamentos del análisis fue impartido por Ruffini durante
el curso 1787-88 cuando todavía era estudiante. Finalmente, el 9 junio de 1788
Ruffini se graduó en filosofía, medicina y cirugía. Poco después consiguió su
grado en matematicas.
El 15 de octubre de 1788, fue
nombrado profesor de fundamentos de análisis. Después, Fantini, que le había
enseñado geometría perdió poco a poco la vista y tuvo que renunciar a su
puesto. Ruffini fue elegido catedrático de Elementos de Matemáticas en 1791.
Sin embargo, Ruffini no era sólo matemático. También, en 1791, obtuvo la
licencia para ejercer la medicina en Módena.
Después de la revolución
francesa, era tiempo de guerra. A principios de 1795 Francia obtenía victorias
en todos los frentes. En el norte de Italia las tropas francesas amenazaban las
posiciones austro-sardas. En marzo de 1796 Napoleón Bonaparte tomó el mando de
la campaña. Derrotó a esas tropas y marchó sobre Turin. El rey de Cerdeña pidió
un armisticio y como resultado Niza y la Saboya fueron anexionadas a Francia.
Bonaparte continuó la guerra contra los austríacos y ocupó Milán pero fue
retenido en Mantua. Firmó armisticios con los duques de Parma y de Módena.
Después ocupó Módena y, contra sus deseos, Ruffini se encontró en medio de todo
este trastorno político.
Gottfried Leibniz
Gottfried Leibniz
Fue uno de los grandes pensadores
de los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce como "El último genio
universal". Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de
metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la
matemática, física, geología, jurisprudencia e historia. Incluso Denis Diderot,
el filósofo deísta francés del siglo XVIII, cuyas opiniones no podrían estar en
mayor oposición a las de Leibniz, no podía evitar sentirse sobrecogido ante sus
logros, y escribió en la Enciclopedia: "Quizás nunca haya un hombre leído
tanto, estudiado tanto, meditado más y escrito más que Leibniz... Lo que ha
elaborado sobre el mundo, sobre Dios, la naturaleza y el alma es de la más
sublime elocuencia. Si sus ideas hubiesen sido expresadas con el olfato de
Platón, el filósofo de Leipzig no cedería en nada al filósofo de Atenas."2
De hecho, el tono de Diderot es casi de desesperanza en otra observación, que
contiene igualmente mucho de verdad: "Cuando uno compara sus talentos con
los de Leibniz, uno tiene la tentación de tirar todos sus libros e ir a morir
silenciosamente en la oscuridad de algún rincón olvidado." La reverencia
de Diderot contrasta con los ataques que otro importante filósofo, Voltaire,
lanzaría contra el pensamiento filosófico de Leibniz; a pesar de reconocer la
vastedad de la obra de éste, Voltaire sostenía que en toda ella no había nada
útil que fuera original, ni nada original que no fuera absurdo y risible.
Issac Newton
Isaac Newton (1643-1727)
Fue un físico, filósofo, teólogo,
inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis
principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley
de gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante
las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos
destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se
presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del cálculo
matemático.
Newton comparte con Leibniz el
crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para
formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la
matemática, desarrollando el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.
VALOR NUMERICO DE UN POLINOMIO
VALOR NÚMERICO DE POLINOMIOS
Es el resultado que obtenemos al
sustituir las variables o letras por valores numéricos y despejar la operación.
Se dice que el valor numérico del
polinomio P(x) cuando x=a (x es la variable y a es el valor numérico el cual
puede ser cualquier número real) se representa por P(a) y es el resultado de
sustituir x por a en el polinomio.
SUMA POR RESTA O DIFERENCIA
SUMA POR RESTA O DIFERENCIA
En este caso tenemos la suma de
dos monomios multiplicada por la resta de esos mismos monomios, este producto
es igual a la resta del cuadrado del primer monomio menos el cuadrado del
segundo.
CUADRADO DE UNA RESTA O DIFERENCIA
CUADRADO DE UNA RESTA O
DIFERENCIA
El cuadrado de la resta de dos
monomios es igual al cuadrado del primero menos el doble producto del primero
por el segundo mas el cuadrado del segundo.
Es importante recordar esta
propiedad pues es muy útil al resolver problemas algebraicos.
CUADRADO DE UNA SUMA
CUADRADO DE UNA SUMA
El cuadrado de la suma de dos
monomios lo podemos expresar de diferentes formas.
Se le llama factorizar al
descomponer una expresión en un producto de dos o más términos y esto es muy útil
para resolver problemas algebraicos.
El cuadrado de la suma de dos
monomios es igual al cuadrado del primero más el doble producto del primero por
el segundo mas el cuadrado del segundo.
Es muy importante memorizar esta
propiedad pues es muy útil al resolver problemas algebraicos.
BINOMIO DE NEWTON
BINOMIO DE NEWTON
Un binomio es un polinomio formado por dos monomios o términos, newton
desarrollo una fórmula para calcular potencias de un binomio, esto mediante los
números combinatorios, mediante esta fórmula podemos expresar potencias de un
binomio como la suma de varios términos y los coeficientes de estos términos los
podemos hallar mediante el triángulo de tartaglia.
Si observamos con atención podemos comprobar que, las potencias de a
van en orden descendente, en el primer término no colocamos la potencia de b
porque es a la cero potencia y no tendría caso colocar ese producto porque es por
1 y seria el mismo, el término b va en orden ascendente comenzando con la
potencia de b elevado a 0 hasta llegar a su máxima potencia. también observamos
que los coeficientes coinciden con los del triángulo de tartaglia con respecto
al número de fila que ocupan, es muy importante memorizar el triángulo te
tartaglia pues es de gran utilidad para resolver estas potencias de un binomio.
Calculemos.
Srinivasa Aiyangar Ramanujan
Srinivasa Aiyangar Ramanujan
Srinivāsa Aiyangār Rāmānujan, en tamil : ஸ்ரீனிவாஸ
ஐயங்கார் ராமானுஜன், (Erode 22 de
diciembre de 1887 - Kumbakonam 26 de abril de 1920) fue un matemático indio muy
enigmático. De familia humilde, a los siete años asistió a una escuela pública
gracias a una beca. Recitaba a sus compañeros de clase fórmulas matemáticas y
cifras de π.
A los 12 años dominaba la trigonometría, y a los 15 le prestaron un
libro con 6.000 teoremas conocidos, sin demostraciones. Ésa fue su formación
matemática básica. En 1903 y 1907 suspendió los exámenes universitarios porque
sólo se dedicaba a sus diversiones matemáticas.
En 1912 fue animado a comunicar sus resultados a tres distinguidos
matemáticos. Dos de ellos no le respondieron, pero sí lo hizo Godfrey Harold
Hardy, de Cambridge. Hardy estuvo a punto de tirar la carta, pero la misma
noche que la recibió se sentó con su amigo John Edensor Littlewood (v.) a
descifrar la lista de 120 fórmulas y teoremas de Ramanujan. Horas más tarde
creían estar ante la obra de un genio. Hardy tenía su propia escala de
valoración para el genio matemático: 100 para Ramanujan, 80 para David Hilbert,
30 para Littlewood y 25 para sí mismo. Algunas de las fórmulas de Ramanujan le
desbordaron, pero escribió ...forzoso es que fueran verdaderas, porque de no
serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria para inventarlas. Invitado
por Hardy, Ramanujan partió para Inglaterra en 1914 y comenzaron a trabajar
juntos. En 1917 Ramanujan fue admitido en la Royal Society de Londres y en el
Trinity College, siendo el primer indio que lograba tal honor. De salud muy
débil, moría tres años después.
TRIANGULO DE TARTAGLIA
TRIANGULO DE TARTAGLIA
Este triangulo ésta compuesto por números combinatorios, una de sus
propiedades es que si sumamos los números de cada fila obtenemos, dependiendo
de la fila el numero 2 elevado al número de fila.
NICOLAS TARTAGLIA
Nicolás Tartaglia (1499-1557)
Nacido en la ciudad de Brescia (Italia), durante el saqueo
de los franceses en 1512 resultó herido en el rostro, lo que le causó una
tartamudez de por vida, y por eso, se le conoce como Tartaglia o Tartamudo.
Su obra más importante es General trattato di numeri et
misure. En ella se desarrollan contenidos de álgebra, geometría práctica y
aritmética.
Enseñó en las Universidades de Verona, Brescia y Venecia,
ciudad donde murió.
También se le conoce por el triangulo de tartaglia, en el cual quedan reflejadas las propiedades de los números combinatorios.
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS COMBINATORIOS
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS
COMBINATORIOS
Los números combinatorios tienen
dos propiedades.
En este caso, la suma de los números
inferiores 2+3 es igual al número superior, cuando esto ocurre los números combinatorios
son iguales.
La segunda propiedad se refiere a
la suma de dos números combinatorios que tienen los números superiores iguales
y los inferiores consecutivos, en esta propiedad podemos verificar que.
NUMEROS COMBINATORIOS
NUMEROS COMBINATORIOS
Un numero combinatorio ésta
compuesto por el factorial de dos números, lo representamos por.
Este tipo de números se definen
como m sobre n (ver factorial de un numero natural), se calcula mediante la
siguiente formula.
Con los numero combinatorios
podemos realizar las operaciones básicas, (suma, resta, multiplicación y división)
para calcularlas basta con calcular primero el número combinatorio y después la
operación.
Continua aprendiendo.
Propiedades de los números combinatorios
Continua aprendiendo.
Propiedades de los números combinatorios
FACTORIAL DE UN NUMERO NATURAL
FACTORIAL DE UN NUMERO NATURAL
El factorial de un número natural
se escribe como n! y se calcula multiplicando todos los números naturales
inferiores a él.
En el caso del número cero, se
considera que 0!=1
Leonhard Euler
Leonhard Euler
Leonhard Paul Euler (Basilea,
Suiza, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, Rusia, 18 de septiembre de 1783),
conocido como Leonhard Euler, fue un matemático y físico suizo. Se trata del
principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes de todos los
tiempos.
Vivió en Rusia y Alemania la
mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan
diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de
la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del
análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática. Asimismo
se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y
astronomía.
Euler ha sido uno de los
matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas
podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes. Una afirmación atribuida a Pierre Simon
Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: Lean a
Euler, él es el maestro de todos nosotros.
En conmemoración suya, Euler ha
aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en
numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide
(2002) Euler recibió ese nombre en su honor.
Evariste Galois
Évariste Galois (25 de octubre de 1811 - 31 de mayo de 1832)
fue un matemático francés nacido en Bourg-la-Reine. Mientras aún era un
adolescente, fue capaz de determinar la condición necesaria y suficiente para
que un polinomio sea resuelto por radicales, dando una solución a un problema
que había permanecido sin resolver. Su trabajo ofreció las bases fundamentales
para la teoría que lleva su nombre, una rama principal del álgebra abstracta.
Fue el primero en utilizar el término "grupo" en un contexto matemático.
La teoría constituye una de las bases matemáticas de la modulación CDMA
utilizada en comunicaciones y, especialmente, en los Sistemas de navegación por
satélite, como GPS, GLONASS, etc.
PRODUCTO O MULTIPLICACION DE POLINOMIOS
PRODUCTO O MULTIPLICACION DE
POLINOMIOS
Para multiplicar dos polinomios
se multiplican todos los términos del primero por cada termino del segundo, después
se suman los polinomios obtenidos de esas multiplicaciones.
Los podemos disponer en forma de
columna para facilitar su cálculo.
Como podemos observar primero multiplique
cada término de T(x) por todos los términos de P(x), después a los resultados
los ordene en columna con su monomio semejante y posteriormente sume los
resultados para así obtener la multiplicación de P(x)∙T(x). También tenemos que
observar que obtuve el término de 3er grado porque la parte literal de cada
termino es una potencia y operamos, el coeficiente por un lado y la parte
literal por otro (ver multiplicación de monomios, y de potencias).
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
Para sumar o restar dos o más
polinomios sumamos o restamos sus términos semejantes, como en las operaciones
con números, también podemos disponerlos en forma de columna para facilitar su
cálculo, debemos tener en cuenta que por ser términos negativos y positivos se
comportan como los números enteros y por lo tanto usamos las mismas reglas para
las operaciones.
POLINOMIOS
POLINOMIOS
Un polinomio esta formado por la
suma de dos o más monomios no semejantes, a los monomios que lo forman se les
llama términos del polinomio.
Los polinomios los representamos
con una expresión del tipo P(x), quiere decir que es de variable x.
Los polinomios del tipo P(x,y)
contienen dos variables.
Los polinomios son reducidos
cuando no contienen monomios semejantes, los polinomios se pueden reducir
sumando sus monomios semejantes.
Los polinomios son ordenados cundo,
de izquierda a derecha van en orden descendente de acuerdo al grado de cada
termino.
El grado de un polinomio reducido
y ordenado es el grado del término de mayor grado.
Se le llama término independiente
de un polinomio al monomio de grado cero, en los ejemplos siguientes los términos
independientes son +6 y +5, los términos independientes también se deben reducir.
Se dice que un polinomio es
opuesto a otro cuando P(x) –P(x), esto quiere decir que los términos del
polinomio son de distinto signo.
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