Relación entre los lados y los ángulos de un triangulo

Matemáticas para la vida trigonometria

Relación entre los lados y los ángulos de un triangulo

Existe una estrecha relación entre los lados y los ángulos de un triangulo, esta relación es muy útil para resolver problemas de la vida diaria, veamos un ejemplo de la resolución de un problema en el que usando las matemáticas se resuelve muy fácilmente y que sin la ayuda de ellas sería muy difícil, ya que necesitaríamos de equipo especial.

Supongamos que necesitamos conocer la altura de un edificio. ¿Cómo lo podríamos medir?

Resolución usando la relaciones que existen en los triángulos.

1: podemos medir la sombra que proyecta el edificio.

Ese edificio, a determinada hora del día proyecta una sombra de 50m

Una varilla de 1m a la misma hora del dia proyecta una sombra de 1.8m

En la siguiente figura está en color gris la proyección de la sombra, llamaremos x el valor desconocido.

Con los datos conocidos realizamos la siguiente proporción y la resolvemos mediante una regla de tres simple.

El edificio mide 27.78 metros.

En este ejemplo tomamos la medida de una varilla que bien nosotros pudimos preparar, pero en realidad podemos utilizar cualquier cosa que podamos medir. Debemos tomar en cuenta que la medida que obtuvimos fue a una hora determinada y que esta medida cambia con la hora del dia y también con las estaciones del año. 
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TEOREMA DE PITAGORAS

MATEMATEMATICAS PARA LA VIDA TRIGONOMETRIA

TEOREMA DE PITAGORAS

El teorema de Pitágoras muestra un relación especial entre los lados de un triangulo rectángulo. Dicha propiedad es muy útil en la vida diaria.

en un triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Los catetos y la hipotenusa de un triangulo son.

Supongamos que conocemos la medida de los catetos de un triangulo rectángulo, las medidas son 3 y 4. Queremos obtener la medida de la hipotenusa.

Según el teorema de Pitágoras.

El cuadrado de la hipotenusa es 25, para encontrar la medida solo obtenemos su raíz cuadrada.

La medida de la hipotenusa es.

DIFERENTES TIPOS DE TRIANGULOS SEGUN SUS ANGULOS

MATEMÁTICAS PARA TODOS

DIFERENTES TIPOS DE TRIANGULOS SEGÚN SUS ANGULOS

Los triángulos se pueden clasificar según los ángulos que contengan, se clasifican en, acutángulo, rectángulo y obtusángulo.

 Se clasifican dependiendo de la medida de los ángulos.

Acutángulo.

Sus tres ángulos son agudos, es decir, miden menos de 90 grados.

Rectángulo.

Tiene un ángulo recto, es decir, tiene un ángulo que mide 90 grados.

Obtusángulo.

Tiene un ángulo que mide más de 90 grados.

No te olvides de ver
Diferentes tipos de triángulos según sus lados

DIFERENTES TIPOS DE TRIANGULOS SEGUN SUS LADOS

MATEMATICAS PARA TODOS ALGEBRA

DIFERENTES TIPOS DE TRIANGULOS SEGÚN SUS LADOS

Los triángulos se pueden clasificar por sus lados en equilátero, isósceles y escaleno.

Al referirme a lados, me refiero a la medida que estos tienen.

Equilátero.

Sus tres lados son iguales, si un ángulo tiene sus tres lados iguales sus ángulos también son iguales.

Isósceles.

Tiene dos lados iguales y uno desigual, si un triangulo tiene dos lados iguales también tiene dos ángulos iguales.

Escaleno.

Tiene los tres lados desiguales, si un triangulo tiene los tres lados desiguales, los ángulos también son desiguales.

Continua aprendiendo.
Diferentes tipos de triángulos según sus ángulos

RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO

MATEMATICAS PARA TODOS ALGEBRA

RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO

Los lados de un triangulo están relacionados, en un ejemplo podemos comprobar esta relación.

Supongamos que nos dan tres medidas, 3, 4 y 2, ¿cómo podemos saber si esas medidas pertenecen a un triangulo?.

1: en un triangulo, el lado mayor es menor que la suma de los otros dos lados.

2: en un triangulo, el lado menor es mayor que la diferencia de los otros  dos lados.

Observamos la siguiente figura.

El lado mayor es menor que la suma de los otros dos lados 4<2+3

El lado menor es mayor que la resta de los otros dos lados 2>4-3

Si no se comprueba esta relación, las medidas que nos proporcionen no pertenecen a un triangulo.

Suponemos que nos dan las medidas 2, 8 y 11.

Comprobamos la relación entre los lados.

11 no es menor que 8+2=10

2 no es mayor que 11-8=3

Estas medidas no pertenecen a un triangulo.

Perimétro de figuras geometricas

MATEMATICAS GEOMETRIA

PERIMETRO DE FIGURAS GEOMETRIACAS

El perímetro de una figura geométrica se calcula sumando la medida de todos sus lados.

Ejemplo

En la siguiente figura, el perímetro es.

ÁREA DEL TRAPECIO

Área del trapecio

Un trapecio tiene cuatro lados, dos son iguales y dos son distintos.

Para calcular el área del trapecio necesitamos conocer su altura, la cual designamos con h.

La fórmula para calcular el área del trapecio es.

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Área del paralelogramo

Área del rombo

Área del rectángulo

Área del cuadrado

Área del triángulo 

Área delparalelogramo

Área del paralelogramo

Un paralelogramo tiene cuatro lados iguales dos a dos.

Para conocer el área de un paralelogramo necesitamos conocer la altura.

La fórmula para calcular su área es.

AREA DEL ROMBO

AREA DEL ROMBO

Un rombo tiene cuatro lados iguales.

Para calcular el área del rombo hay que distinguir las siguientes medidas.

D= diagonal mayor.

d= diagonal menor.

a= lado del rombo

La fórmula para calcular su área es.

AREA DEL RECTANGULO

AREA DEL RECTANGULO

Un rectángulo tiene cuatro lados que son iguales dos a dos.

La fórmula para calcular su área es.

AREA DEL CUADRADO

AREA DEL CUADRADO

En un cuadrado los cuatro lados son iguales.

La fórmula para calcular su área es.

AREA DEL TRIANGULO

MATEMATICAS GEOMETRIA

AREA DEL TRIANGULO

El área de un triangulo se calcula multiplicando la base por la altura y dividiendo el resultado entre dos.

Los lados de una figura geométrica generalmente se designan por las primeras letras del alfabeto (minúsculas), la base del triángulo es la letra b, y la altura la designamos con la letra h.

RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: METODO DE REDUCCION

RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: METODO DE REDUCCION

Este método consiste en eliminar una de las ecuaciones del sistema junto con una de las incógnitas, para así obtener una ecuación de primer grado con una incógnita y despejar el valor numérico de esa incógnita, posteriormente sustituimos ese valor en la ecuación más sencilla del sistema para despejar la otra incógnita.

Podemos seguir estos pasos para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales.

1: multiplicamos una de las ecuaciones por un número n (los dos miembros de la ecuación), tal que el resultado iguale en valor absoluto a uno de los coeficientes de las incógnitas y que sea de signo contrario al de la otra ecuación.

2: sumamos o restamos las dos ecuaciones, de tal manera que se eliminara una de ellas junto con una incógnita, quedándonos una ecuación de primer grado con una incógnita.

3: resolvemos esta ecuación obtenida del proceso anterior para despejar la incógnita.

4: ya despejada la incógnita, la sustituimos en una de las ecuaciones originales (lo podemos hacer en la más fácil).

5: resolvemos esta ecuación de primer grado para despejar su incógnita.

Ahora ya tenemos los valores numéricos de (x,y) que satisfacen el sistema.

Ejemplo

Resolvemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales.

Multiplicamos la primera ecuación por 2 (para igualar el coeficiente de y, y que sea de signo contrario al de la otra ecuación).

Sumamos las ecuaciones para eliminar una de ellas y una incógnita (cuando es necesario también podemos restar las ecuaciones).

El resultado es una ecuación de primer grado con una incógnita, la resolvemos pare encontrar el valor numérico de x.

Ya con el valor de x, lo sustituimos en una de las ecuaciones del sistema, en este caso lo hacemos en la primera, que es la mas sencilla.

Resolvemos esta ecuación para obtener el valor numérico de y.

Ahora tenemos los valores de (x,y) que satisfacen el sistema.

Comprobamos sustituyendo en el sistema y verificando que la igualdad es cierta.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales : método de igualación

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales : método de igualación

Este método se basa en despejar una de las incógnitas en las dos ecuaciones para posteriormente igualar estas expresiones y obtener el valor numérico de una de estas incógnitas para continuar sustituyendo ese valor en la ecuación más sencilla y así obtener el valor numérico de la otra incógnita.

Podemos seguir los siguientes pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales por este método.

1: si es posible simplificamos las o una de las ecuaciones.

2: despejamos una de las incógnitas en las dos ecuaciones.

3: igualamos estas expresiones.

4: resolvemos la ecuación de primer grado con una incógnita que obtuvimos de esta igualación ( Ver como resolver ecuaciones de primer grado con fracciones).

5: ya obtenido el valor numérico de esta incógnita, lo sustituimos en la ecuación más sencilla.

6: resolvemos la nueva ecuación de primer grado con una incógnita para obtener el valor numérico de la incógnita.

Ahora tenemos los valores numéricos de (x,y) que satisfacen el sistema.

Ejemplo.

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con el método de igualación.

Despejamos x en las dos ecuaciones (En este caso no se podía simplificar ninguna de las dos ecuaciones).

Igualamos las expresiones obtenidas para tener una ecuación de primer grado con una incógnita.

Resolvemos esta ecuación para obtener el valor numérico de y (ver como resolver ecuaciones de primer grado con fracciones).

Ya con el valor numérico de y, lo sustituimos en la ecuación mas sencilla.

Resolvemos esta nueva ecuación de primer grado con una incógnita (ver resolución de ecuaciones de primer grao).

Ahora tenemos los valores de (x,y) que satisfacen el sistema.

Comprobamos sustituyendo estos valores en el sistema y comprobando si la igualdad es correcta.

Continua aprendiendo.
Resolución de sistemas método de reducción
Resolución de sistemas método de sustitución

RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: METODO DE SUSTITUCION

RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: METODO DE SUSTITUCION

Este método para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (sistema con dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas) se basa en despejar una de las incógnitas en una ecuación y sustituirla en la otra ecuación, así obtenemos una ecuación de primer grado con una incógnita, después resolvemos esta ecuación obtenida y ya despejada la incógnita la volvemos a sustituir en la ecuación inicial para despejar la otra incógnita.

Aquí enumeramos los pasos a seguir para la resolución de sistemas lineales mediante el método de sustitución.

1: observamos si se pueden simplificar las ecuaciones del sistema, si es así, lo hacemos.

2: despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones (lo podemos hacer en la más fácil).

3: sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación, es decir, si despejamos x sustituimos el despeje en la otra ecuación.

4: resolvemos la ecuación de primer grado con una incógnita que hemos obtenido.

5: ahora que tenemos el valor numérico de una de las incógnitas, lo sustituimos en la ecuación  que operamos primero y la resolvemos (esta ecuación quedo como una de primer grado con una incógnita).

Ya tenemos los valores de (x,y) que satisfacen el sistema.

Ejemplo.

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con el método de sustitución.

Despejamos x en la ecuación más sencilla, en este caso es la primera y no fue necesario simplificarla.

Despejamos x.

Esta expresión obtenida la sustituimos en la otra ecuación del sistema, obtenemos una ecuación de primer grado con una incógnita.

Resolvemos esta ecuación ( ver resolución de ecuaciones de primer gado).

Hemos obtenido el valor numérico de y.

Sustituimos este valor numérico en la ecuación que operamos primero.

Resolvemos esta ecuación para obtener el valor numérico de x.

La solución al sistema son los valores.

Comprobamos en el sistema de ecuaciones original, sustituyendo estos valores en las dos ecuaciones y comprobando que están correctas las igualdades.